Постройте график функции f(x) = x² + 4х + 5. Исполь- зуя график, найдите: 1) область значений данной функции; 2) промежуток возрастом. 3) функции; множество решений неравенства…
Постройте график функции f(x) = x² + 4х + 5. Исполь- зуя график, найдите: 1) область значений данной функции; 2) промежуток возрастом. 3) функции; множество решений неравенства f(x) < 0.
Для того чтобы построить график функции \( f(x) = x^2 + 4x + 5 \), сначала заметим, что это парабола, открытая вверх, поскольку коэффициент при \( x^2 \) положителен. Давайте разберемся по пунктам:
Шаг 1: Нахождение вершинного положения параболы
Чтобы определить координаты вершины параболы, воспользуемся формулами:
- Координата \( x \) вершины \( x_{верш} = -\frac{b}{2a} \), где \( a = 1 \) и \( b = 4 \) из нашего уравнения.
Подставим значения: \[ x_{верш} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2 \]
Теперь найдем значение функции в этой точке: \[ f(-2) = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1 \]
Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (-2, 1) \).
Шаг 2: Построение графика
На графике функция будет принимать значения, которые начинаются от вершины (1) и будут расти в обе стороны (влево и вправо). Поскольку это парабола, при \( x \) равном -2, значение функции минимально.
Шаг 3: Область значений функции
Область значений функции определяется минимальным значением и тем, что функция возрастает в обе стороны. Так как минимальное значение функции равно 1, область значений будет: \[ [1, +\infty) \]
Шаг 4: Промежуток возрастающей функции
Поскольку парабола открыта вверх и вершина находится в точке \( (-2, 1) \), функция будет убывать до \( x = -2 \) и возрастать после. Таким образом, функция возрастает на интервале: \[ x \in (-2, +\infty) \]
Шаг 5: Множество решений неравенства \( f(x) < 0 \)
Чтобы найти множество решений неравенства \( f(x) < 0 \), рассмотрим, что функция имеет минимум 1. Поскольку минимальное значение функции равно 1 и выше нуля, то неравенство \( f(x) < 0 \) не имеет решений.
Таким образом, окончательные ответы на заданные вопросы:
- Область значений функции: \([1, +\infty)\).
- Промежуток, на котором функция возрастает: \( (-2, +\infty) \).
- Множество решений неравенства \( f(x) < 0 \): пустое множество (\(\emptyset\)).
Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
