4. Тележка массой m1 = 1 кг движется со скоростью 12 м/с и сталкивается с непод вижной тележкой массой т2-3 кг. Определите скорости из и и2 тележек после абсо лютно упругого…

Для решения этой задачи мы будем использовать закон сохранения импульса и закон сохранения энергии, так как соударение абсолютно упругое.

Обозначим:

• \( m_1 = 1 \) кг — масса первой тележки,
• \( v_1 = 12 \) м/с — скорость первой тележки до столкновения,
• \( m_2 = 3 \) кг — масса второй тележки (которая неподвижна),
• \( v_2 = 0 \) м/с — скорость второй тележки до столкновения,
• \( v_1' \) и \( v_2' \) будут обозначать скорости первых тележек после столкновения.

1. Закон сохранения импульса

Импульс системы до столкновения равен импульсу системы после столкновения:

\[ m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' \]

Подставляем значения:

\[ 1 \cdot 12 + 3 \cdot 0 = 1 \cdot v_1' + 3 \cdot v_2' \]

Это упростится до:

\[ 12 = v_1' + 3 v_2' \quad (1) \]

2. Закон сохранения энергии

Кinetic energy до столкновения равна кинетической энергии после столкновения:

\[ \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 (v_1')^2 + \frac{1}{2} m_2 (v_2')^2 \]

Подставляем значения:

\[ \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 12^2 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 0^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (v_1')^2 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (v_2')^2 \]

Упрощаем:

\[ \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 144 = \frac{1}{2} (v_1')^2 + \frac{3}{2} (v_2')^2 \]

Рассмотрим:

\[ 72 = \frac{1}{2} (v_1')^2 + \frac{3}{2} (v_2')^2 \quad (2) \]

Система уравнений

Теперь у нас есть система уравнений (1) и (2):

1. \( 12 = v_1' + 3v_2' \)

2. \( 72 = \frac{1}{2}(v_1')^2 + \frac{3}{2}(v_2')^2 \)

Теперь мы можем выразить \( v_1' \) из уравнения (1):

\[ v_1' = 12 - 3v_2' \]

Подставим это значение в уравнение (2):

\[ 72 = \frac{1}{2}(12 - 3v_2')^2 + \frac{3}{2}(v_2')^2 \]

Упрощаем:

\[ 72 = \frac{1}{2}(144 - 72v_2' + 9(v_2')^2) + \frac{3}{2}(v_2')^2 \]

Можем объединить все термины:

\[ 72 = 72 - 36v_2' + 6(v_2')^2 \]

Убираем 72 с обеих сторон:

\[ 0 = -36v_2' + 6(v_2')^2 \]

Выносим общий множитель:

\[ 0 = 6v_2'(-6 + v_2') \]

Таким образом, у нас есть два решения:

1. \( v_2' = 0 \)
2. \( v_2' = 6 \)

Возьмем второе решение \( v_2' = 6 \, \text{м/с} \) (поскольку первое решение соответствует тому, что вторая тележка не двигается, что не является интересным результатом).

Теперь подставим значение \( v_2' \) обратно в уравнение (1) для нахождения \( v_1' \):

\[ v_1' = 12 - 3 \cdot 6 = 12 - 18 = -6 \, \text{м/с} \]

Ответ

После абсолютно упругого соударения скорости тележек будут:

• \( v_1' = -6 \, \text{м/с} \) (первой тележки),
• \( v_2' = 6 \, \text{м/с} \) (второй тележки).

Таким образом, первая тележка движется в противоположном направлении после столкновения, а вторая — в том же направлении, в котором двигалась первая.