Площадь поверхности первого шара в 81 раз больше площади поверхности второго шара. Найдите, во сколько раз радиус первого шара больше объема второго шара?

Для решения задачи используем формулы для площади поверхности и объема шара.

Площадь поверхности шара \( S \) рассчитывается по формуле: \[ S = 4\pi r^2, \] где \( r \) — радиус шара.

Объем шара \( V \) вычисляется по формуле: \[ V = \frac{4}{3}\pi r^3. \]

Пусть радиус первого шара — \( r_1 \), радиус второго шара — \( r_2 \). По условию задачи, площадь поверхности первого шара в 81 раз больше, чем площадь поверхности второго шара: \[ S_1 = 81 S_2. \]

Подставляем формулы для площадей в данное равенство: \[ 4\pi r_1^2 = 81 (4\pi r_2^2). \]

Сокращаем \( 4\pi \) с обеих сторон: \[ r_1^2 = 81 r_2^2. \]

Теперь извлечём корень: \[ r_1 = 9 r_2. \]

Теперь необходимо найти, во сколько раз объем первого шара больше объема второго шара. Для этого найдем объем первого шара: \[ V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3 = \frac{4}{3}\pi (9 r_2)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 729 r_2^3 = 972\pi r_2^3. \]

Теперь найдем объем второго шара: \[ V_2 = \frac{4}{3}\pi r_2^3. \]

Теперь мы можем узнать, во сколько раз объем первого шара больше объема второго шара: \[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{972\pi r_2^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \frac{972}{\frac{4}{3}} = 972 \cdot \frac{3}{4} = 729. \]

Таким образом, объем первого шара в 729 раз больше объема второго шара.