В прямоугольном треугольнике наибольший из катетов равен 24. Гипотенуза равна 26. Найдите наименьшую среднюю линию треугольника.

В прямоугольном треугольнике с катетами \( a \) и \( b \) и гипотенузой \( c \) выполняется теорема Пифагора:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

В данном случае, пусть \( a = 24 \) (наибольший катет), \( c = 26 \) (гипотенуза). Зная это, можем найти второй катет \( b \):

\[ 24^2 + b^2 = 26^2 \]

Сначала найдем квадраты:

\[ 576 + b^2 = 676 \]

Теперь найдем \( b^2 \):

\[ b^2 = 676 - 576 \]

\[ b^2 = 100 \]

Следовательно, \( b = 10 \).

Теперь у нас есть длины катетов: \( a = 24 \) и \( b = 10 \).

Теперь находим средние линии треугольника. Средняя линия треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы. В данном треугольнике это будет:

\[ m_c = \frac{c}{2} = \frac{26}{2} = 13 \]

Средняя линия, проведенная к большому катету (в данном случае \( 24 \)):

\[ m_a = \frac{b}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

И средняя линия, проведенная к меньшему катету (\( 10 \)):

\[ m_b = \frac{a}{2} = \frac{24}{2} = 12 \]

Теперь сравним все три средней линии:

• \( m_a = 5 \)
• \( m_b = 12 \)
• \( m_c = 13 \)

Наименьшая средняя линия равна \( 5 \) и относится к большому катету \( 24 \).

Ответ: наименьшая средняя линия треугольника равна \( 5 \).