Log1/7 (x+6) + log1/7 (x-9)

Для решения неравенства \( \log_{\frac{1}{7}} (x + 6) + \log_{\frac{1}{7}} (x - 9) < \log_{\frac{1}{7}} 1 \), начнем с того, что мы знаем, что \( \log_{\frac{1}{7}} 1 = 0 \), так как любое число в степени 0 равно 1.

Таким образом, неравенство становится:

\[ \log_{\frac{1}{7}} (x + 6) + \log_{\frac{1}{7}} (x - 9) < 0 \]

Теперь используем свойства логарифмов. Мы можем объединить два логарифма в один:

\[ \log_{\frac{1}{7}} [(x + 6)(x - 9)] < 0 \]

Поскольку основание логарифма \( \frac{1}{7} \) меньше 1, неравенство изменит свой знак при переходе от логарифма к неравенству. Это означает, что нам нужно учесть следующее:

\[ (x + 6)(x - 9) > 1 \]

Теперь решаем это неравенство. Сначала раскроем скобки:

\[ x^2 - 9x + 6x - 54 > 1 \]

или упрощенно:

\[ x^2 - 3x - 54 > 1 \]

Переносим единицу на другую сторону:

\[ x^2 - 3x - 55 > 0 \]

Теперь решим квадратное неравенство. Находим корни уравнения \( x^2 - 3x - 55 = 0 \) с помощью дискриминанта:

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-55) = 9 + 220 = 229 \).

Корни находятся по формуле:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{229}}{2} \]

Обозначим корни как \( x_1 \) и \( x_2 \), где \( x_1 = \frac{3 - \sqrt{229}}{2} \) и \( x_2 = \frac{3 + \sqrt{229}}{2} \).

Теперь, поскольку это парабола с ветвями, направленными вверх, неравенство \( x^2 - 3x - 55 > 0 \) выполняется за пределами корней. Таким образом, мы имеем следующие интервалы:

\[ x < x_1 \quad \text{или} \quad x > x_2 \]

Также нам нужно учитывать ограничение, что \( x + 6 > 0 \) и \( x - 9 > 0 \), что значит \( x > -6 \) и \( x > 9 \). Таким образом, необходимо учитывать, что значение \( x \) также должно быть больше 9.

Итак, окончательные решения будут в виде:

\[ x < \frac{3 - \sqrt{229}}{2} \quad \text{или} \quad x > \frac{3 + \sqrt{229}}{2} \] и также \[ x > 9 \]

Потому окончательный ответ будет:

\[ x > 9 \quad \text{в данном случае является самой сильной границей.} \]