№507. Груз массой 400 г совершает колебания на пружине жесткостью 250 Н/м. Амплитуда колебаний 15 см. Найдите полную механическую энергию колебаний и наибольшую скорость. В каком положении она достигается?

Чтобы найти полную механическую энергию колебаний и наибольшую скорость, воспользуемся следующими формулами.

1. Полная механическая энергия (E) колебательной системы с пружиной рассчитывается по формуле: \[ E = \frac{1}{2} k A^2, \] где \( k \) — жесткость пружины, \( A \) — амплитуда колебаний.

Дано:

• \( k = 250 \, \text{Н/м} \)
• \( A = 15 \, \text{см} = 0.15 \, \text{м} \)

Теперь подставим значения в формулу: \[ E = \frac{1}{2} \cdot 250 \cdot (0.15)^2 = \frac{1}{2} \cdot 250 \cdot 0.0225 = \frac{250 \cdot 0.0225}{2} = \frac{5.625}{2} = 2.8125 \, \text{Дж}. \]

2. Наибольшая скорость (v_max) достигается в момент, когда груз проходит положение равновесия (величина отклонения от равновесия равна нулю). Максимальная скорость может быть найдена по формуле: \[ v_{\text{max}} = A \cdot \omega, \] где \( \omega \) — угловая частота, которая определяется как: \[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, \] где \( m \) — масса груза.

Дано:

• Масса \( m = 400 \, \text{г} = 0.4 \, \text{кг} \).

Теперь найдем угловую частоту: \[ \omega = \sqrt{\frac{250}{0.4}} = \sqrt{625} = 25 \, \text{рад/с}. \]

Теперь можем найти наибольшую скорость: \[ v_{\text{max}} = A \cdot \omega = 0.15 \cdot 25 = 3.75 \, \text{м/с}. \]

Итак, результаты:

• Полная механическая энергия колебаний: \( E \approx 2.81 \, \text{Дж} \).
• Наибольшая скорость: \( v_{\text{max}} = 3.75 \, \text{м/с} \).
• Наибольшая скорость достигается в положении равновесия (в точке, где отклонение от равновесия равно нулю).