Найти все значения m , при которых m²+m и 2(1-m²) принимают равные значения
Для того чтобы найти все значения \( m \), при которых выражения \( m^2 + m \) и \( 2(1 - m^2) \) равны, сначала установим уравнение:
\[ m^2 + m = 2(1 - m^2) \]
Теперь упростим правую часть уравнения:
\[ m^2 + m = 2 - 2m^2 \]
Переносим все части на одну сторону уравнения:
\[ m^2 + m + 2m^2 - 2 = 0 \]
Объединим подобные слагаемые:
\[ 3m^2 + m - 2 = 0 \]
Теперь можно использовать дискриминант для решения этого квадратного уравнения. Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Здесь \( a = 3 \), \( b = 1 \), \( c = -2 \):
\[ D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 \]
Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два действительных корня, которые можно найти по формуле:
\[ m = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}} \]
Подставим значения:
\[ m = \frac{{-1 \pm \sqrt{25}}}{{2 \cdot 3}} = \frac{{-1 \pm 5}}{{6}} \]
Теперь найдем два корня:
- \( m_1 = \frac{{-1 + 5}}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
- \( m_2 = \frac{{-1 - 5}}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \)
Таким образом, значения \( m \), при которых \( m^2 + m \) и \( 2(1 - m^2) \) равны, равны \( \frac{2}{3} \) и \( -1 \).
