Интеграл от 0 до 1 ( 1+2(8-4t))4t×(-4dt)+((8-4t)²-4t)×4dt)

Чтобы решить данный интеграл, давайте сначала разберёмся с выражением, которое нужно интегрировать:

\[ \int_0^1 \left( (1 + 2(8 - 4t))4t \cdot (-4)dt + ((8 - 4t)^2 - 4t) \cdot 4dt \right). \]

Сначала упростим каждый из выражений. Начнём с первого:

1. Посчитаем \(1 + 2(8 - 4t)\):

   \[ 1 + 16 - 8t = 17 - 8t. \]

2. Теперь подставим это в интеграл:

   \[ \int_0^1 (17 - 8t)4t \cdot (-4)dt. \]

   Умножаем:

   \[ = -16t(17 - 8t) = -272t + 128t^2. \]

Теперь перейдём ко второму выражению:

1. Посчитаем \((8 - 4t)^2\):

   \[ (8 - 4t)^2 = 64 - 64t + 16t^2. \]

2. Теперь подставим это в второе выражение:

   \[ (64 - 64t + 16t^2 - 4t) \cdot 4 = (64 - 68t + 16t^2) \cdot 4 = 256 - 272t + 64t^2. \]

Теперь можно объединить оба выражения:

\[ -272t + 128t^2 + 256 - 272t + 64t^2 = 256 - 544t + 192t^2. \]

Теперь мы имеем интеграл:

\[ \int_0^1 (256 - 544t + 192t^2) dt. \]

Теперь интегрируем каждый член отдельно:

1. Для первого члена:

   \[ \int_0^1 256 dt = 256t \bigg|_0^1 = 256. \]

2. Для второго члена:

   \[ \int_0^1 -544t dt = -544 \cdot \frac{t^2}{2} \bigg|_0^1 = -272. \]

3. Для третьего члена:

   \[ \int_0^1 192t^2 dt = 192 \cdot \frac{t^3}{3} \bigg|_0^1 = 64. \]

Теперь соберём все результаты вместе:

\[ 256 - 272 + 64 = 48. \]

Таким образом, значение интеграла от 0 до 1 данного выражения равно:

\[ \text{Ответ: } 48. \]

Если у вас есть дополнительные вопросы по интегралам или другом учебном материале, не стесняйтесь спрашивать!