sin²x+2sinx=3

Чтобы решить уравнение \( \sin^2x + 2\sin x = 3 \), начнем с приведения его к стандартной форме.

1. Обозначим \( y = \sin x \). Тогда уравнение преобразуется в: \[ y^2 + 2y - 3 = 0 \]

2. Теперь решим квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу для решения квадратных уравнений: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = 2 \), и \( c = -3 \).

   Подставляем значения: \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \] \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \] \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ y = \frac{-2 \pm 4}{2} \]

   Теперь решаем для двух случаев: \[ y_1 = \frac{2}{2} = 1 \] \[ y_2 = \frac{-6}{2} = -3 \]

3. Теперь у нас есть два значения для \( y \): \( y_1 = 1 \) и \( y_2 = -3 \).

4. Однако, поскольку \( y = \sin x \) и синус не может принимать значения больше 1 или меньше -1, \( y_2 = -3 \) не подходит. Оставляем только \( \sin x = 1 \).

5. Решим уравнение \( \sin x = 1 \): \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Таким образом, общее решение уравнения \( \sin^2x + 2\sin x = 3 \) имеет вид: \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]