5sinx+cosx=5

Чтобы решить уравнение \(5\sin x + \cos x = 5\), давайте сначала выразим одну из функций тригонометрии.

1. Переносим \(\cos x\) на правую сторону уравнения: \[ 5\sin x = 5 - \cos x \] Теперь делим обе стороны на 5: \[ \sin x = 1 - \frac{1}{5} \cos x \] \[ \sin x = 1 - 0.2 \cos x \]

2. Следующий шаг — использование pythagorean identity, которая связана между синусом и косинусом, а именно: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Подставим \( \sin x = 1 - 0.2 \cos x \) в это уравнение: \[ (1 - 0.2 \cos x)^2 + \cos^2 x = 1 \]

3. Раскроем скобки: \[ 1 - 0.4\cos x + 0.04\cos^2 x + \cos^2 x = 1 \] Объединяем подобные слагаемые: \[ 1.04 \cos^2 x - 0.4\cos x + 1 - 1 = 0 \] \[ 1.04 \cos^2 x - 0.4 \cos x = 0 \]

4. Вынесем \(\cos x\) за скобки: \[ \cos x (1.04 \cos x - 0.4) = 0 \]

5. Теперь решим два отдельных уравнения:

   • Первое: \(\cos x = 0\)

     • Это дает \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), где \(k\) — любое целое число.

   • Второе: \(1.04 \cos x = 0.4\)

     • Делим обе стороны на 1.04: \[ \cos x = \frac{0.4}{1.04} \approx 0.3846 \]

6. Теперь находим \(x\): \[ x = \cos^{-1}(0.3846) + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = -\cos^{-1}(0.3846) + 2k\pi \]

Таким образом, у нас есть два типа решений: \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) и \(x = \cos^{-1}(0.3846) + 2k\pi\) или \(-\cos^{-1}(0.3846) + 2k\pi\).