Найти расстояние между точками пересечения гипербул х²-у²=15и ху=4

Для нахождения расстояния между точками пересечения гиперболы \(x^2 - y^2 = 15\) и гиперболы \(xy = 4\), сначала найдем эти точки пересечения.

1. Решим систему уравнений.

   У нас есть два уравнения: \[ x^2 - y^2 = 15 \quad (1) \] \[ xy = 4 \quad (2) \]

   Из уравнения (2) выразим \(y\) через \(x\): \[ y = \frac{4}{x} \]

   Теперь подставим \(y\) в уравнение (1): \[ x^2 - \left(\frac{4}{x}\right)^2 = 15 \] Упростим это уравнение: \[ x^2 - \frac{16}{x^2} = 15 \] Умножим обе стороны на \(x^2\) (при условии, что \(x \neq 0\)): \[ x^4 - 16 = 15x^2 \] Это уравнение можно привести к стандартной форме: \[ x^4 - 15x^2 - 16 = 0 \]

   Обозначим \(z = x^2\). Тогда у нас получится квадратное уравнение: \[ z^2 - 15z - 16 = 0 \]

2. Решим квадратное уравнение.

   Используем формулу корней квадратного уравнения: \[ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \(a = 1\), \(b = -15\), \(c = -16\): \[ z = \frac{15 \pm \sqrt{(-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)}}{2 \cdot 1} = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 64}}{2} \] \[ z = \frac{15 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{15 \pm 17}{2} \] Таким образом, мы получаем два значения: \[ z_1 = 16 \quad \text{и} \quad z_2 = -1 \] Поскольку \(z = x^2\) должно быть неотрицательным, мы оставляем только \(z_1\): \[ x^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad x = 4 \quad \text{или} \quad x = -4 \]

3. Найдём соответствующие значения \(y\).

   Для \(x = 4\): \[ y = \frac{4}{4} = 1 \] Для \(x = -4\): \[ y = \frac{4}{-4} = -1 \]

   Таким образом, мы имеем две точки пересечения: \( (4, 1) \) и \( (-4, -1) \).

4. Вычислим расстояние между этими точками.

   Для вычисления расстояния \(d\) между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) используем формулу: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Подставим наши значения: \[ d = \sqrt{((-4) - 4)^2 + ((-1) - 1)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \]

Таким образом, расстояние между точками пересечения гипербол составляет \(2\sqrt{17}\).