Решите уравнение 2sin x * cos x = cos x * sin 2x.

Давайте решим уравнение \( 2\sin x \cdot \cos x = \cos x \cdot \sin 2x \).

Сначала воспользуемся тем, что \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \). Подставим это в уравнение:

\[ 2\sin x \cdot \cos x = \cos x \cdot (2 \sin x \cos x) \]

Теперь упростим правую часть уравнения:

\[ 2\sin x \cdot \cos x = 2 \sin x \cdot \cos^2 x \]

Теперь можно сократить обе стороны на \( 2\sin x \) (при условии, что \( \sin x \neq 0 \)):

\[ \cos x = \cos^2 x \]

Переведем это уравнение в стандартный вид:

\[ \cos^2 x - \cos x = 0 \]

Выносим \(\cos x\) за скобки:

\[ \cos x (\cos x - 1) = 0 \]

Теперь решаем это уравнение:

1. \( \cos x = 0 \)
2. \( \cos x - 1 = 0 \) (то есть \( \cos x = 1 \))

Теперь находим корни для каждого случая:

1. Для \( \cos x = 0 \): \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

2. Для \( \cos x = 1 \): \[ x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Теперь нужно учесть, что мы сократили уравнение на \( 2\sin x \). Значит, нам нужно проверить случай, когда \( \sin x = 0 \):

\[ \sin x = 0 \implies x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Таким образом, все решения нашего уравнения:

\[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \quad \text{и} \quad x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

В полном виде решения можно записать как:

\[ x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] или \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]