Найдите синус, косинус тангенс углов AOB и AOC если А (1;0) В (1/4; корень 15/4) С (-1/2; корень 3/2)

Чтобы найти синус, косинус и тангенс углов \( AOB \) и \( AOC \), сначала мы найдем координаты векторов \( \overrightarrow{OA} \), \( \overrightarrow{OB} \) и \( \overrightarrow{OC} \).

Координаты точек:

• \( A(1, 0) \)
• \( B\left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{15}}{4}\right) \)
• \( C\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)

Вектор \( \overrightarrow{OA} \) равен \( A - O = (1, 0) \). Вектор \( \overrightarrow{OB} \) равен \( B - O = \left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{15}}{4}\right) \). Вектор \( \overrightarrow{OC} \) равен \( C - O = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \).

Теперь можем вычислить углы между векторами.

1. Найдем скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{OA} \) и \( \overrightarrow{OB} \):

\[ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 1 \cdot \frac{1}{4} + 0 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{1}{4} \]

2. Найдем длины векторов:

\[ |\overrightarrow{OA}| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1 \]

\[ |\overrightarrow{OB}| = \sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{15}{16}} = \sqrt{1} = 1 \]

3. Теперь найдем косинус угла \( AOB \):

\[ \cos(AOB) = \frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}|} = \frac{\frac{1}{4}}{1 \cdot 1} = \frac{1}{4} \]

4. Теперь найдем синус угла \( AOB \) с помощью формулы \( \sin^2(AOB) + \cos^2(AOB) = 1 \):

\[ \sin^2(AOB) = 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \]

\[ \sin(AOB) = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \]

5. Теперь найдем тангенс угла \( AOB \):

\[ \tan(AOB) = \frac{\sin(AOB)}{\cos(AOB)} = \frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}} = \sqrt{15} \]

Теперь повторим те же шаги для угла \( AOC \).

1. Найдем скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{OA} \) и \( \overrightarrow{OC} \):

\[ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} \]

2. Найдем длину вектора \( \overrightarrow{OC} \):

\[ |\overrightarrow{OC}| = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1 \]

3. Теперь найдем косинус угла \( AOC \):

\[ \cos(AOC) = \frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OC}|} = \frac{-\frac{1}{2}}{1 \cdot 1} = -\frac{1}{2} \]

4. Теперь найдем синус угла \( AOC \):

\[ \sin^2(AOC) = 1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]

\[ \sin(AOC) = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

5. Теперь найдем тангенс угла \( AOC \):

\[ \tan(AOC) = \frac{\sin(AOC)}{\cos(AOC)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = -\sqrt{3} \]

Результаты:

• Для угла \( AOB \):

  • \( \sin(AOB) = \frac{\sqrt{15}}{4} \)
  • \( \cos(AOB) = \frac{1}{4} \)
  • \( \tan(AOB) = \sqrt{15} \)

• Для угла \( AOC \):

  • \( \sin(AOC) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
  • \( \cos(AOC) = -\frac{1}{2} \)
  • \( \tan(AOC) = -\sqrt{3} \)