Решите биквадратное уравнение: a) x ^ 4 + 6x ^ 2 - 27 = 0
Чтобы решить биквадратное уравнение \( x^4 + 6x^2 - 27 = 0 \), можно воспользоваться заменой переменной. Обозначим \( y = x^2 \). Тогда уравнение преобразуется в:
\[ y^2 + 6y - 27 = 0. \]
Теперь это квадратное уравнение относительно \( y \). Мы можем решить его с использованием формулы для корней квадратного уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \( a = 1, b = 6, c = -27 \).
Подставим значения в формулу:
- Найдем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144. \]
- Найдем корни:
\[ y = \frac{-6 \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 12}{2}. \]
Теперь вычислим два значения для \( y \):
\[ y_1 = \frac{6}{2} = 3, \] \[ y_2 = \frac{-18}{2} = -9. \]
Следовательно, мы имеем:
- \( y_1 = 3 \) (это значение допустимо, так как \( y \) представляет \( x^2 \)),
- \( y_2 = -9 \) (это значение не может быть допустимо, так как квадрат числа не может быть отрицательным).
Теперь вернемся к \( x \):
Для \( y_1 = 3 \):
\[ x^2 = 3 \]
отсюда
\[ x = \sqrt{3} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{3}. \]
Таким образом, корни биквадратного уравнения \( x^4 + 6x^2 - 27 = 0 \) равны:
\[ x = \sqrt{3}, \quad x = -\sqrt{3}. \]
Если у вас есть еще вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь задавать!
