x2-15x+56<0

Для решения неравенства \(x^2 - 15x + 56 < 0\) начнем с нахождения корней соответствующего квадратного уравнения \(x^2 - 15x + 56 = 0\).

1. Находим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac, \] где \(a = 1\), \(b = -15\), и \(c = 56\): \[ D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1. \]

2. Находим корни уравнения: Используем формулу корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \] Подставим значения: \[ x_1 = \frac{15 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{15 + 1}{2} = 8, \] \[ x_2 = \frac{15 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{15 - 1}{2} = 7. \]

Теперь у нас есть корни \(x_1 = 8\) и \(x_2 = 7\).

3. Определяем интервалы: Корни разбивают числовую прямую на три интервала:

• \((-\infty, 7)\)
• \((7, 8)\)
• \((8, +\infty)\)

4. Проверяем знаки в каждом интервале:

• Для интервала \((-\infty, 7)\), например \(x = 0\): \[ 0^2 - 15 \cdot 0 + 56 = 56 > 0. \]
• Для интервала \((7, 8)\), например \(x = 7.5\): \[ (7.5)^2 - 15 \cdot 7.5 + 56 = 56.25 - 112.5 + 56 = -0.25 < 0. \]
• Для интервала \((8, +\infty)\), например \(x = 9\): \[ 9^2 - 15 \cdot 9 + 56 = 81 - 135 + 56 = 2 > 0. \]

5. Составляем ответ: Неравенство \(x^2 - 15x + 56 < 0\) выполняется на интервале \((7, 8)\).

Таким образом, ответ: \[ x \in (7, 8). \]