определите промежутки монотонности функции: г) y=x²+x
Давайте определим промежутки монотонности функции \( y = x^2 + x \). Для этого нам нужно найти производную функции и проанализировать её знаки.
Найдём производную: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 + x) = 2x + 1 \]
Найдём угловые точки (где производная равна нулю): \[ 2x + 1 = 0 \] \[ 2x = -1 \] \[ x = -\frac{1}{2} \]
Исследуем знаки производной: Разделим ось x на интервалы с учётом найденной точки:
- Интервал 1: \( x < -\frac{1}{2} \)
- Интервал 2: \( x > -\frac{1}{2} \)
Теперь определим знак производной на каждом из интервалов.
Для интервала 1, например, возьмем \( x = -1 \): \[ y'(-1) = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1 \quad (\text{меньше нуля}) \] Это означает, что функция убывает на интервале \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \).
Для интервала 2, например, возьмем \( x = 0 \): \[ y'(0) = 2(0) + 1 = 0 + 1 = 1 \quad (\text{больше нуля}) \] Это означает, что функция возрастает на интервале \( (-\frac{1}{2}, +\infty) \).
Запишем промежутки монотонности:
- Убывание функции: \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \)
- Возрастание функции: \( (-\frac{1}{2}, +\infty) \)
Таким образом, функция \( y = x^2 + x \) убывает на интервале \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \) и возрастает на интервале \( (-\frac{1}{2}, +\infty) \). Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь обращаться!
