x(x+5)-2<4x

Давайте решим неравенство \( x(x + 5) - 2 < 4x \).

1. Начнем с упрощения неравенства: \[ x^2 + 5x - 2 < 4x \]

2. Переносим все члены на одну сторону: \[ x^2 + 5x - 2 - 4x < 0 \] Это упростится до: \[ x^2 + x - 2 < 0 \]

3. Теперь найдем корни квадратного уравнения \( x^2 + x - 2 = 0 \). Для этого применим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]

4. Найдем корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] Таким образом, получаем два корня: \[ x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \]

5. Теперь у нас есть корни \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -2 \). Расставим их на числовой прямой и определим знаки промежутков:

   • \( (-\infty, -2) \)
   • \( (-2, 1) \)
   • \( (1, +\infty) \)

6. Проверим знак выражения \( x^2 + x - 2 \) на этих промежутках:

   • Для \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \)): \( (-3)^2 + (-3) - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 \) (положительное)
   • Для \( -2 < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \( 0^2 + 0 - 2 = -2 \) (отрицательное)
   • Для \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \( 2^2 + 2 - 2 = 4 + 2 - 2 = 4 \) (положительное)

7. Таким образом, неравенство \( x^2 + x - 2 < 0 \) выполняется в интервале \( (-2, 1) \).

Ответ: \(-2 < x < 1\).