В некотором испытания Бернулли успех наступает с вероятностью p =0.5. Найдите вероятность того что в серии из 4 таких испытаний: 1) наступит ровно 2 успеха 2)наступит ровно 1…

В испытаниях Бернулли, когда вероятность успеха \( p = 0.5 \), можно использовать формулу биномиального распределения для нахождения вероятностей. Формула для вычисления вероятности \( P(X = k) \) для \( n \) испытаний, где \( k \) — количество успехов, выглядит так:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где \( C(n, k) \) — это биномиальный коэффициент, который можно вычислить по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

В данном случае \( n = 4 \) (количество испытаний) и \( p = 0.5 \). Теперь рассмотрим каждую из ситуаций:

1. Вероятность того, что наступит ровно 2 успеха:

   \[ P(X = 2) = C(4, 2) \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^{4-2} \] \[ C(4, 2) = \frac{4!}{2!2!} = 6 \] \[ P(X = 2) = 6 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^2 = 6 \cdot 0.25 \cdot 0.25 = 6 \cdot 0.0625 = 0.375 \]

2. Вероятность того, что наступит ровно 1 успех:

   \[ P(X = 1) = C(4, 1) \cdot (0.5)^1 \cdot (0.5)^{4-1} \] \[ C(4, 1) = 4 \] \[ P(X = 1) = 4 \cdot (0.5)^1 \cdot (0.5)^3 = 4 \cdot 0.5 \cdot 0.125 = 4 \cdot 0.0625 = 0.25 \]

3. Вероятность того, что наступит ровно 3 успеха:

   \[ P(X = 3) = C(4, 3) \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{4-3} \] \[ C(4, 3) = 4 \] \[ P(X = 3) = 4 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^1 = 4 \cdot 0.125 \cdot 0.5 = 4 \cdot 0.0625 = 0.25 \]

4. Вероятность того, что все испытания кончатся неудачей:

   \[ P(X = 0) = C(4, 0) \cdot (0.5)^0 \cdot (0.5)^{4-0} \] \[ C(4, 0) = 1 \] \[ P(X = 0) = 1 \cdot (0.5)^0 \cdot (0.5)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0.0625 = 0.0625 \]

Таким образом, итоговые вероятности следующие:

1. Вероятность 2 успехов: \( 0.375 \)
2. Вероятность 1 успеха: \( 0.25 \)
3. Вероятность 3 успехов: \( 0.25 \)
4. Вероятность неудач во всех испытаниях: \( 0.0625 \)