6. Постройте график функции y = (x ^ 3 - 2x ^ 2 - 9x + 18)/(18 - 2x ^ 2)
Чтобы построить график функции \( y = \frac{x^3 - 2x^2 - 9x + 18}{18 - 2x^2} \), следуйте этим шагам:
Определите область определения функции: Найдите, при каких значениях \( x \) знаменатель не равен нулю. \[ 18 - 2x^2 \neq 0 \implies 2x^2 \neq 18 \implies x^2 \neq 9 \implies x \neq 3 \text{ и } x \neq -3. \] Таким образом, область определения: \( x \in \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\} \).
Найдите точки пересечения с осью y: Подставьте \( x = 0 \): \[ y(0) = \frac{(0)^3 - 2(0)^2 - 9(0) + 18}{18 - 2(0)^2} = \frac{18}{18} = 1. \] Таким образом, точка пересечения с осью y: \( (0, 1) \).
Найдите асимптоты: Изучите поведение функции при \( x \) стремящемся к \( 3 \) и \( -3 \) (точки, где функция недоступна):
- При \( x \to 3 \) и \( x \to -3 \) функция будет стремиться к бесконечности, это вертикальные асимптоты.
Найдите производную функции: Для анализа поведения функции можно найти производную. Используйте правило частного: \[ y' = \frac{(b \cdot f' - f \cdot b')}{b^2}, \] где \( f = x^3 - 2x^2 - 9x + 18 \) и \( b = 18 - 2x^2 \).
После нахождения производной, можно найти критические точки, решая уравнение \( y' = 0 \).
Постройте график: Используя найденные точки (пересечение с осями, асимптоты, критические точки), вы можете составить график функции.
Вы можете воспользоваться графическими калькуляторами или программами для построения графиков, такими как Desmos, GeoGebra или другими, чтобы увидеть функцию более наглядно.
Таким образом, ваш график будет включать пересечение с осью y в точке (0, 1), очерченные асимптотами вертикальные линии в \( x = 3 \) и \( x = -3 \), а также поведение функции между и за пределами этих точек.
