Если р1, Рг и Рз - различные простые числа, то сумма всех делителей числа р1 • рг • Рз равна (P1 + 1) (P2 + 1) (Рз + 1). Найдите сумму всех делителей числа 138.
Чтобы найти сумму всех делителей числа 138, сначала нужно разложить его на простые множители.
- Разложим 138 на простые множители:
- 138 делится на 2: \( 138 ÷ 2 = 69 \)
- 69 делится на 3: \( 69 ÷ 3 = 23 \), где 23 - это простое число.
Таким образом, 138 можно разложить как: \[ 138 = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 23^1. \]
Теперь используем формулу для суммы делителей: Если \( n = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot p_3^{k_3} \), сумма делителей \( \sigma(n) \) вычисляется по формуле: \[ \sigma(n) = (p_1^{k_1+1} - 1)/(p_1 - 1) \cdot (p_2^{k_2+1} - 1)/(p_2 - 1) \cdot (p_3^{k_3+1} - 1)/(p_3 - 1). \] В нашем случае для \( n = 138 = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 23^1 \):
Применим формулу:
Для \( p_1 = 2, k_1 = 1 \): \[ \frac{2^{1+1} - 1}{2 - 1} = \frac{4 - 1}{1} = 3. \]
Для \( p_2 = 3, k_2 = 1 \): \[ \frac{3^{1+1} - 1}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = 4. \]
Для \( p_3 = 23, k_3 = 1 \): \[ \frac{23^{1+1} - 1}{23 - 1} = \frac{529 - 1}{22} = \frac{528}{22} = 24. \]
- Теперь перемножим все эти результаты: \[ \sigma(138) = 3 \cdot 4 \cdot 24 = 288. \]
Таким образом, сумма всех делителей числа 138 равна 288.
