3. Даны вершины пирамиды А(1;0;2), В(-3;2;1), С(0;1;1), D(-1;-2;3). Найдите: а) длину вектора 5 AC - 4BD б) косинус угла между векторами AB и AC 

Чтобы решить поставленную задачу, начнем с нахождения необходимых векторов.

а) Для начала найдем векторы AC и BD:

• Вектор AC: \[ \vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (0 - 1, 1 - 0, 1 - 2) = (-1, 1, -1) \]

• Вектор BD: \[ \vec{BD} = \vec{D} - \vec{B} = (-1 - (-3), -2 - 2, 3 - 1) = (2, -4, 2) \]

Теперь вычислим 5AC и 4BD:

• Умножаем AC на 5: \[ 5\vec{AC} = 5 \cdot (-1, 1, -1) = (-5, 5, -5) \]

• Умножаем BD на 4: \[ 4\vec{BD} = 4 \cdot (2, -4, 2) = (8, -16, 8) \]

Теперь вычислим разность: \[ 5\vec{AC} - 4\vec{BD} = (-5, 5, -5) - (8, -16, 8) = (-5 - 8, 5 - (-16), -5 - 8) = (-13, 21, -13) \]

Теперь найдем длину этого вектора: \[ ||(-13, 21, -13)|| = \sqrt{(-13)^2 + 21^2 + (-13)^2} = \sqrt{169 + 441 + 169} = \sqrt{779} \]

Ответ на пункт а): Длина вектора \( 5\vec{AC} - 4\vec{BD} \) равна \( \sqrt{779} \).

б) Для нахождения косинуса угла между векторами AB и AC сначала найдем вектор AB:

• Вектор AB: \[ \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (-3 - 1, 2 - 0, 1 - 2) = (-4, 2, -1) \]

Теперь используем формулу для нахождения косинуса угла между двумя векторами: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{||\vec{AB}|| \cdot ||\vec{AC}||} \]

Сначала найдем скалярное произведение AB и AC: \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-4) \cdot (-1) + 2 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) = 4 + 2 + 1 = 7 \]

Теперь найдем длины векторов:

• Длина вектора AB: \[ ||\vec{AB}|| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21} \]

• Длина вектора AC: \[ ||\vec{AC}|| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \]

Теперь подставим все значения в формулу для косинуса: \[ \cos(\theta) = \frac{7}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{3}} = \frac{7}{\sqrt{63}} = \frac{7}{3\sqrt{7}} = \frac{7\sqrt{7}}{21} = \frac{\sqrt{7}}{3} \]

Ответ на пункт б): Косинус угла между векторами AB и AC равен \( \frac{\sqrt{7}}{3} \).