. В треугольнике CDE угол С равен 30°, угол О равен 45°, СЕ = 5 см. Найдите DE.
Для решения задачи воспользуемся свойствами треугольника и теорией синусов.
В треугольнике CDE углы составляют:
- угол C = 30°
- угол O = 45°
Сначала найдем угол D. Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит:
\[ \angle D = 180° - \angle C - \angle O = 180° - 30° - 45° = 105°. \]
Теперь у нас есть все три угла треугольника CDE:
- угол C = 30°
- угол O (E) = 45°
- угол D = 105°
По теореме синусов, которая гласит, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов постоянное, можно записать:
\[ \frac{CE}{\sin O} = \frac{DE}{\sin C} = \frac{CD}{\sin D}. \]
Значения:
- \( CE = 5 \, \text{см} \)
- \( \sin O = \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
- \( \sin C = \sin 30° = \frac{1}{2} \)
- \( \sin D = \sin 105° = \sin (180° - 75°) = \sin 75° = \sin(45° + 30°) \)
Чтобы найти \( \sin 75° \), воспользуемся формулой сложения синусов:
\[ \sin(45° + 30°) = \sin 45° \cdot \cos 30° + \cos 45° \cdot \sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}. \]
Теперь подставим \( CE \) в уравнение:
\[ \frac{5 \, \text{см}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{DE}{\frac{1}{2}}. \]
Решим это уравнение:
- Умножим обе стороны на \( \frac{1}{2} \):
\[ \frac{5 \cdot 2}{\sqrt{2}} = DE, \]
\[ DE = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \approx 7.07 \, \text{см}. \]
Таким образом, длина DE составляет \( 5\sqrt{2} \) см.
