Х^2-4х+3>0
Чтобы решить неравенство \(x^2 - 4x + 3 > 0\), начнем с поиска корней соответствующего уравнения \(x^2 - 4x + 3 = 0\).
Для этого можно использовать формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\). Подставим значения:
\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]
Поскольку дискриминант положителен (\(D > 0\)), уравнение имеет два различных корня. Теперь найдем эти корни по формуле:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2}{2} \]
Таким образом, мы получаем:
\[ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1 \]
Теперь у нас есть корни \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 3\). Эти корни делят числовую прямую на три интервала:
- \( (-\infty, 1) \)
- \( (1, 3) \)
- \( (3, +\infty) \)
Теперь проверим знак квадратичной функции \(x^2 - 4x + 3\) на каждом из этих интервалов.
Для интервала \( (-\infty, 1) \) (например, \(x = 0\)): \[ 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3 > 0 \quad (\text{положительно}) \]
Для интервала \( (1, 3) \) (например, \(x = 2\)): \[ 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 < 0 \quad (\text{отрицательно}) \]
Для интервала \( (3, +\infty) \) (например, \(x = 4\)): \[ 4^2 - 4 \cdot 4 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 > 0 \quad (\text{положительно}) \]
Теперь мы можем заключить, что неравенство \(x^2 - 4x + 3 > 0\) выполняется на интервалах:
\[ (-\infty, 1) \quad \text{и} \quad (3, +\infty) \]
Таким образом, окончательный ответ: \(x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)\).
