х²-5х+4<0 методом интервала решить
Чтобы решить неравенство \(x^2 - 5x + 4 < 0\) методом интервалов, следуем следующему алгоритму:
Найдем корни уравнения: для начала решим уравнение \(x^2 - 5x + 4 = 0\). Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
В нашем случае \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 4\). Подставим значения:
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \]
Таким образом, мы получаем два корня:
\[ x_1 = \frac{8}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1 \]
Определим интервалы: Теперь, зная корни, мы можем разделить числовую ось на три интервала:
- \((-∞, 1)\)
- \((1, 4)\)
- \((4, ∞)\)
Проверим знаки на каждом интервале: Мы будем выбирать тестовые точки из каждого интервала, чтобы определить знак выражения \(x^2 - 5x + 4\).
Для интервала \((-∞, 1)\): возьмем, например, \(x = 0\): \[ 0^2 - 5 \cdot 0 + 4 = 4 > 0 \]
Для интервала \((1, 4)\): возьмем, например, \(x = 2\): \[ 2^2 - 5 \cdot 2 + 4 = 4 - 10 + 4 = -2 < 0 \]
Для интервала \((4, ∞)\): возьмем, например, \(x = 5\): \[ 5^2 - 5 \cdot 5 + 4 = 25 - 25 + 4 = 4 > 0 \]
Сделаем выводы: Мы установили знаки:
- В интервале \((-∞, 1)\) — положительное значение.
- В интервале \((1, 4)\) — отрицательное значение.
- В интервале \((4, ∞)\) — положительное значение.
Таким образом, неравенство \(x^2 - 5x + 4 < 0\) выполняется только на интервале \((1, 4)\).
Ответ: \(x \in (1, 4)\).
