Х²-5х+4<0

Чтобы решить неравенство \( x^2 - 5x + 4 < 0 \), следуем следующим шагам:

1. Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 5x + 4 = 0 \). Для этого используем формулу корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] В нашем случае, \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = 4 \). Подставляем значения: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \] Это дает нам два корня: \[ x_1 = \frac{8}{2} = 4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1 \]

2. Теперь выясним, где функция \( x^2 - 5x + 4 \) принимает отрицательные значения. Корни уравнения 1 и 4 разбивают числовую прямую на три промежутка:

   • \( (-\infty, 1) \)
   • \( (1, 4) \)
   • \( (4, +\infty) \)

3. Тестируем промежутки:

   • Для промежутка \( (-\infty, 1) \) (например, \( x = 0 \)): \[ 0^2 - 5 \cdot 0 + 4 = 4 \quad (> 0) \]
   • Для промежутка \( (1, 4) \) (например, \( x = 2 \)): \[ 2^2 - 5 \cdot 2 + 4 = 4 - 10 + 4 = -2 \quad (< 0) \]
   • Для промежутка \( (4, +\infty) \) (например, \( x = 5 \)): \[ 5^2 - 5 \cdot 5 + 4 = 25 - 25 + 4 = 4 \quad (> 0) \]

4. Итак, \( x^2 - 5x + 4 < 0 \) выполняется в промежутке \( (1, 4) \).

Поскольку мы ищем, где неравенство выполняется, ответ будет: \[ 1 < x < 4 \]