Найди, при каких x частное x-15/x+25 неотрицательно
Чтобы найти, при каких значениях \( x \) дробь
\[ \frac{x-15}{x+25} \]
неотрицательна (т.е. больше или равна нулю), мы можем рассмотреть два случая: когда числитель и знаменатель имеют одинаковый знак (оба положительные или оба отрицательные) или числитель равен нулю.
- Найдём точки, при которых числитель равен нулю:
\[ x - 15 = 0 \implies x = 15. \]
- Найдём точки, при которых знаменатель равен нулю (это важно, чтобы дробь не была неопределённой):
\[ x + 25 = 0 \implies x = -25. \]
Теперь у нас есть две ключевые точки: \( x = 15 \) и \( x = -25 \). Разделим числовую ось на интервалы, опираясь на эти точки:
- \( (-\infty, -25) \)
- \( (-25, 15) \)
- \( (15, +\infty) \)
- Определим знак дроби на каждом интервале:
На интервале \( (-\infty, -25) \):
Выберем, например, \( x = -30 \): \[ \frac{-30 - 15}{-30 + 25} = \frac{-45}{-5} = 9 \quad (\text{положительно}). \]На интервале \( (-25, 15) \):
Выберем, например, \( x = 0 \): \[ \frac{0 - 15}{0 + 25} = \frac{-15}{25} = -0.6 \quad (\text{отрицательно}). \]На интервале \( (15, +\infty) \):
Выберем, например, \( x = 20 \): \[ \frac{20 - 15}{20 + 25} = \frac{5}{45} > 0 \quad (\text{положительно}). \]
- Объединим результаты:
- На интервале \( (-\infty, -25) \) дробь положительная.
- На интервале \( (-25, 15) \) дробь отрицательная.
- На интервале \( (15, +\infty) \) дробь положительная.
Также учитываем, что в точке \( x = 15 \) дробь равна нулю, а в точке \( x = -25 \) дробь неопределенная.
- Итак, ответ на вопрос:
Дробь \( \frac{x-15}{x+25} \) неотрицательна при \( x \in (-\infty, -25) \) и \( x \geq 15 \).
Таким образом, решения: \( x \in (-\infty, -25) \cup [15, +\infty) \).
