Задача 1. Монету бросают 10 раз. Найдите вероятность, что герб выпадет 3 раза;
Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение. Вероятность того, что герб выпадет \( k \) раз при \( n \) бросках монеты, вычисляется по формуле:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}, \]
где:
- \( C(n, k) \) — численный коэффициент, или "число сочетаний из \( n \) по \( k \)", которое вычисляется по формуле \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \),
- \( p \) — вероятность получения герба на одном броске, которая равна \( 0.5 \) для честной монеты,
- \( n \) — общее количество бросков,
- \( k \) — количество выпадений герба.
В нашем случае:
- \( n = 10 \),
- \( k = 3 \),
- \( p = 0.5 \).
Сначала найдем \( C(10, 3) \):
\[ C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10 - 3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{6} = 120. \]
Теперь подставим все значения в формулу:
\[ P(X = 3) = C(10, 3) \cdot (0.5)^3 \cdot (1 - 0.5)^{10 - 3} = 120 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^7 = 120 \cdot (0.5)^{10} = 120 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{120}{1024} = \frac{15}{128}. \]
Таким образом, вероятность того, что герб выпадет 3 раза при 10 бросках, равна:
\[ P(X = 3) = \frac{15}{128} \approx 0.1172. \]
