-x2-2x<0

Решим неравенство \(-x^2 - 2x < 0\).

1. Перепишем неравенство. Умножим обе стороны на -1, при этом знак неравенства поменяется: \[ x^2 + 2x > 0. \]

2. Переносим всё в одну часть: \[ x^2 + 2x > 0. \]

3. Вынесем общий множитель: \[ x(x + 2) > 0. \]

4. Находим корни. Уравнение \(x(x + 2) = 0\) имеет два корня: \(x = 0\) и \(x = -2\).

5. Определяем знаки в интервалах. Теперь мы рассмотрим три интервала:

   • \( (-\infty, -2) \)
   • \( (-2, 0) \)
   • \( (0, +\infty) \)

6. Тестируем знаки в каждом интервале:

   • Для интервала \( (-\infty, -2) \): Пусть \(x = -3\). Тогда \((-3)(-3 + 2) = (-3)(-1) = 3 > 0\).
   • Для интервала \( (-2, 0) \): Пусть \(x = -1\). Тогда \((-1)(-1 + 2) = (-1)(1) = -1 < 0\).
   • Для интервала \( (0, +\infty) \): Пусть \(x = 1\). Тогда \((1)(1 + 2) = (1)(3) = 3 > 0\).

7. Суммируем результаты: Мы видим, что неравенство \(x(x + 2) > 0\) выполняется в интервалах \( (-\infty, -2) \) и \( (0, +\infty) \).

Таким образом, решение неравенства \(-x^2 - 2x < 0\) можно записать так: \[ x \in (-\infty, -2) \cup (0, +\infty). \]