Реши 2 номер

Давай разберемся с заданием номер 2.

Задача: Построить эскиз графика функции \(y = x - \dfrac{1}{3x^2 - 2}\) и найти ее область определения и множество значений.

Шаг 1: Найдем область определения функции

Для того чтобы функция была определена, знаменатель не должен быть равен нулю:

\[3x^2 - 2 \neq 0\]

Решим уравнение:

\[3x^2 = 2\] \[x^2 = \dfrac{2}{3}\] \[x \neq \pm \sqrt{\dfrac{2}{3}}\]

Значит область определения: все числа, кроме \(x = \pm \sqrt{\dfrac{2}{3}}\).

Шаг 2: Построим эскиз графика

• При \(x \rightarrow \infty\) или \(x \rightarrow -\infty\), \( y \approx x \) (так как \(\dfrac{1}{3x^2 - 2}\) стремится к нулю), поэтому функция ведет себя как прямая \(y = x\).
• Определим поведение функции поблизости точек, где знаменатель обращается в ноль (\(x = \pm \sqrt{\dfrac{2}{3}}\)). На этих точках будут вертикальные асимптоты.

Шаг 3: Найдем множество значений

Так как функция \(y = x - \dfrac{1}{3x^2 - 2}\) не имеет ограничения на \(y\) из-за вычитания дроби с учетом вертикальных асимптот, множество значений — это все действительные числа.

Такой вот план: главное не путаться с асимптотами и областью определения! Если есть вопросы, пиши!