Решить задачу

Давай разберёмся с задачей!

У нас дано \( y(x) \), которое состоит из двух кусочков в зависимости от значения \( x \):

1. \( y = x^2 - 5 \), когда \( x < 1 \)
2. \( y = -(x - 3)^2 \), когда \( x \geq 1 \)

Нужно построить график функции и определить, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с этим графиком ровно три общие точки.

Шаги для решения:

1. Построим кусочно-заданную функцию:

   • Для \( x < 1 \): \( y = x^2 - 5 \) — это парабола, открытая вверх, с вершиной ниже оси \( x \).
   • Для \( x \geq 1 \): \( y = -(x - 3)^2 \) — другая парабола, открытая вниз, с вершиной в точке \( (3, 0) \).

2. Находим точки пересечения:

   Примем прямая \( y = m \) — горизонтальная линия. Нам нужно, чтобы количество пересечений было ровно три.

3. Анализируем пересечения:

   • В области \( x < 1 \), график идет снизу вверх.
   • В области \( x \geq 1 \), график идет сверху вниз до вершины \( (3, 0) \).

4. Определяем \( m \):

   Чтобы была ровно три точки пересечения:

   • Два пересечения для одной из частей графика и одно пересечение для другой.
   • Это возможно при \(-5 < m < 0\). Тогда:
     • При \( m \) чуть больше \(-5\), парабола \( x^2 - 5 \) пересекается в двух точках, и \( -(x-3)^2 \) в одной.
     • При сугубо \( m = 0 \), высока вероятность изменить пересечения.

Таким образом, горизонтальные прямые \( y = m \), где \(-5 < m < 0\), дадут нам ровно три точки пересечения с графиком функции.