(7x+21)(x-8, 5) ≤0

Чтобы решить неравенство \((7x + 21)(x - 8.5) \leq 0\), начнем с упрощения его.

1. Найдем корни каждого из множителей:

   • Для первого множителя \(7x + 21 = 0\): \[ 7x = -21 \implies x = -3 \]

   • Для второго множителя \(x - 8.5 = 0\): \[ x = 8.5 \]

Таким образом, мы имеем два корня \(x = -3\) и \(x = 8.5\).

2. Построим числовую прямую и отметим корни:

   • Корни разделяют числовую линию на три интервала: \(-\infty < x < -3\) \(-3 < x < 8.5\) \(x > 8.5\)

3. Определим знак продукта в каждом интервале:

   • Выберем точку из каждого интервала и подставим её в неравенство:

   • Для интервала \((- \infty, -3)\), например, \(x = -4\): \[ (7(-4) + 21)(-4 - 8.5) = (-28 + 21)(-12.5) = (-7)(-12.5) > 0 \]

   • Для интервала \((-3, 8.5)\), например, \(x = 0\): \[ (7(0) + 21)(0 - 8.5) = (21)(-8.5) < 0 \]

   • Для интервала \((8.5, +\infty)\), например, \(x = 9\): \[ (7(9) + 21)(9 - 8.5) = (63 + 21)(0.5) = (84)(0.5) > 0 \]

4. Соберем результаты:

   • Интервал \((- \infty, -3)\) дает положительное значение.
   • Интервал \((-3, 8.5)\) дает отрицательное значение.
   • Интервал \((8.5, +\infty)\) снова дает положительное значение.

5. Учитываем корни:

   • При \(x = -3\): \( (7(-3) + 21)(-3 - 8.5) = 0 \)
   • При \(x = 8.5\): \( (7(8.5) + 21)(8.5 - 8.5) = 0 \)

6. Записывая итог: Мы ищем решение неравенства \( (7x + 21)(x - 8.5) \leq 0 \). Таким образом, решение будет: \[ -3 \leq x \leq 8.5 \]

Итак, решением неравенства является интервал \([-3, 8.5]\).