Прямая y = 2 x + b y=2x+b касается окружности x 2 + y 2 = 20 x 2 +y 2 =20 в точке с отрицательной абсциссой. Найди координаты точки касания. Запиши в ответе найденные координаты в…
Прямая y = 2 x + b y=2x+b касается окружности x 2 + y 2 = 20 x 2 +y 2 =20 в точке с отрицательной абсциссой. Найди координаты точки касания. Запиши в ответе найденные координаты в формате ( x ; y ) (x;y) без пробелов.
Для того чтобы прямая \(y = 2x + b\) касалась окружности \(x^2 + y^2 = 20\), необходимо, чтобы расстояние от центра окружности (который находится в начале координат (0, 0)) до прямой \(y = 2x + b\) было равно радиусу окружности (равному \(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)).
Расстояние от точки до прямой можно найти по формуле: \[ \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}, \] где \(Ax + By + C = 0\) — уравнение прямой.
Для нашей прямой \(y = 2x + b\) можно привести к виду: \[ -2x + y - b = 0 \quad \Rightarrow \quad A = -2, B = 1, C = -b. \]
Поскольку центр окружности в точке (0, 0), подставляя его в формулу расстояния, получаем: \[ \frac{|-b|}{\sqrt{(-2)^2 + 1^2}} = \frac{|b|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|b|}{\sqrt{5}}. \]
Радиус окружности равен \(2\sqrt{5}\). Устанавливаем равенство: \[ \frac{|b|}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}. \] Умножаем обе части на \(\sqrt{5}\): \[ |b| = 2 \times 5 = 10. \]
Таким образом, \(b = 10\) или \(b = -10\).
Для нахождения точки касания воспользуемся методом подстановки и условия касания:
- Если \(b = 10\), то уравнение прямой: \(y = 2x + 10\).
- Если \(b = -10\), тогда уравнение прямой: \(y = 2x - 10\).
Решим сначала для \(b = 10\) и подставим это в уравнение окружности: \[ x^2 + (2x + 10)^2 = 20. \] Раскроем скобки: \[ x^2 + (4x^2 + 40x + 100) = 20 \quad \Rightarrow \quad 5x^2 + 40x + 100 - 20 = 0 \quad \Rightarrow \quad 5x^2 + 40x + 80 = 0. \] Упростим уравнение (разделим на 5): \[ x^2 + 8x + 16 = 0. \] Факторы: \[ (x + 4)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -4. \] Теперь найдем \(y\): \[ y = 2(-4) + 10 = -8 + 10 = 2. \] Координаты точки касания для первого случая: \((-4; 2)\).
Теперь проверим для \(b = -10\): \[ x^2 + (2x - 10)^2 = 20. \] Раскроем скобки: \[ x^2 + (4x^2 - 40x + 100) = 20 \quad \Rightarrow \quad 5x^2 - 40x + 100 - 20 = 0 \quad \Rightarrow \quad 5x^2 - 40x + 80 = 0. \] Упрощаем: \[ x^2 - 8x + 16 = 0. \] Факторы: \[ (x - 4)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4. \] Теперь находим \(y\): \[ y = 2(4) - 10 = 8 - 10 = -2. \] Координаты точки касания для второго случая: \((4; -2)\).
Поскольку точка касания должна иметь отрицательную абсциссу, выбираем первую точку.
Ответ: \[ (-4; 2). \]
