x(x+7) (x-4) ≤0

Решим неравенство \( x(x + 7)(x - 4) \leq 0 \).

1. Находим корни неравенства. Для этого приравняем левую часть к нулю: \[ x(x + 7)(x - 4) = 0 \] Корни уравнения:

   • \( x = 0 \)
   • \( x + 7 = 0 \) ⇒ \( x = -7 \)
   • \( x - 4 = 0 \) ⇒ \( x = 4 \)

   Таким образом, корни неравенства: \( x = -7, 0, 4 \).

2. Рисуем числовую ось и отмечаем found корни: \[ -7 \quad 0 \quad 4 \] Разделяем числовую ось на промежутки:

   • \( (-\infty, -7) \)
   • \( (-7, 0) \)
   • \( (0, 4) \)
   • \( (4, +\infty) \)

3. Определяем знак выражения на каждом промежутке. Для этого выбираем тестовые точки из каждого интервала:

   • Для \( (-\infty, -7) \), например, \( x = -8 \): \[ (-8)(-8 + 7)(-8 - 4) = (-8)(-1)(-12) > 0 \]
   • Для \( (-7, 0) \), например, \( x = -1 \): \[ (-1)(-1 + 7)(-1 - 4) = (-1)(6)(-5) > 0 \]
   • Для \( (0, 4) \), например, \( x = 2 \): \[ (2)(2 + 7)(2 - 4) = (2)(9)(-2) < 0 \]
   • Для \( (4, +\infty) \), например, \( x = 5 \): \[ (5)(5 + 7)(5 - 4) = (5)(12)(1) > 0 \]

4. Записываем результаты:

   • Для интервала \( (-\infty, -7) \) — положительный.
   • Для интервала \( (-7, 0) \) — положительный.
   • Для интервала \( (0, 4) \) — отрицательный.
   • Для интервала \( (4, +\infty) \) — положительный.

5. Составляем ответ. Поскольку неравенство требует, чтобы выражение было меньше либо равно нулю, мы берём только промежуток, где функция отрицательна, а также корни, где выражение равно нулю: \[ x \in [ -7, 0 ] \cup [ 0, 4 ] \]

Таким образом, решением неравенства \( x(x + 7)(x - 4) \leq 0 \) является: \[ x \in [-7, 4] \]