(x+5) (x+2) (x-8) >0

Чтобы решить неравенство \((x+5)(x+2)(x-8) > 0\), начнем с нахождения нулей функции, так как они помогут определить промежутки, в которых выражение может менять знак.

1. Найдем нули: Уравнение \((x+5)(x+2)(x-8) = 0\) имеет три корня:
   • \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\)
   • \(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\)
   • \(x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8\)

Таким образом, мы имеем нули: \(x = -5\), \(x = -2\) и \(x = 8\).

2. Разделим числовую ось на интервалы: Эти нули делят числовую ось на четыре интервала:

   • \((-\infty, -5)\)
   • \((-5, -2)\)
   • \((-2, 8)\)
   • \((8, +\infty)\)

3. Определим знак произведения в каждом интервале:

   • Интервал \((-\infty, -5)\): Возьмем, например, \(x = -6\). Подставляем: \((-6+5)(-6+2)(-6-8) = (-1)(-4)(-14) = -56 < 0\).
   • Интервал \((-5, -2)\): Возьмем \(x = -3\). Подставляем: \((-3+5)(-3+2)(-3-8) = (2)(-1)(-11) = 22 > 0\).
   • Интервал \((-2, 8)\): Возьмем \(x = 0\). Подставляем: \((0+5)(0+2)(0-8) = (5)(2)(-8) = -80 < 0\).
   • Интервал \((8, +\infty)\): Возьмем \(x = 9\). Подставляем: \((9+5)(9+2)(9-8) = (14)(11)(1) = 154 > 0\).

4. Соберем результаты:

   • Знак выражения:
     • \((-\infty, -5)\): < 0
     • \((-5, -2)\): > 0
     • \((-2, 8)\): < 0
     • \((8, +\infty)\): > 0

5. Запишем решение: Мы ищем, где произведение больше нуля: \[ x \in (-5, -2) \cup (8, +\infty) \]

Таким образом, окончательный ответ: \(x \in (-5, -2) \cup (8, +\infty)\).