X(x+7) (x-4) ≤0
Для решения неравенства \( x(x+7)(x-4) \leq 0 \), давайте проанализируем его шаг за шагом.
Найдем нули функции: Нужно определить значения \( x \), при которых произведение равно нулю. Это происходит, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
\[ x = 0, \quad x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7, \quad x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \]
Таким образом, мы имеем нули функции: \( x = -7, 0, 4 \).
Построим интервал: Эти нули разбивают числовую ось на следующие интервалы:
- \( (-\infty, -7) \)
- \( (-7, 0) \)
- \( (0, 4) \)
- \( (4, +\infty) \)
Определим знак на каждом интервале: Теперь проверим знак выражения \( x(x+7)(x-4) \) на каждом из интервалов.
Для интервала \( (-\infty, -7) \), выберем \( x = -8 \): \[ (-8)(-8 + 7)(-8 - 4) = (-8)(-1)(-12) > 0 \]
Для интервала \( (-7, 0) \), выберем \( x = -1 \): \[ (-1)(-1 + 7)(-1 - 4) = (-1)(6)(-5) > 0 \]
Для интервала \( (0, 4) \), выберем \( x = 1 \): \[ (1)(1 + 7)(1 - 4) = (1)(8)(-3) < 0 \]
Для интервала \( (4, +\infty) \), выберем \( x = 5 \): \[ (5)(5 + 7)(5 - 4) = (5)(12)(1) > 0 \]
Соберем информацию о знаках:
- На интервале \( (-\infty, -7) \) знак положительный.
- На интервале \( (-7, 0) \) знак положительный.
- На интервале \( (0, 4) \) знак отрицательный.
- На интервале \( (4, +\infty) \) знак положительный.
Учитываем границы: В нашем неравенстве стоит знак \( \leq 0 \), что подразумевает, что мы включаем в решение точки, где функция равна нулю. Таким образом, \( x = -7, 0, 4 \) также входят в решение.
Запишем окончательное решение: Решение неравенства \( x(x+7)(x-4) \leq 0 \) будет следующим интервалом:
\[ x \in [-7, 0] \cup [4, 4] \]
Или в более простой форме:
\[ x \in [-7, 0] \cup \{4\} \]
Если вам нужна дополнительная помощь с решениями или объяснениями, не стесняйтесь спрашивать!
