√х²-3х+2≥-2
Давайте решим неравенство \( \sqrt{x^2 - 3x + 2} \geq -2 \).
Сначала заметим, что корень квадратный всегда неотрицательный. Это означает, что \( \sqrt{x^2 - 3x + 2} \) будет всегда больше или равно 0. Следовательно, данное неравенство автоматически выполнено, так как 0 всегда больше, чем -2.
Однако, чтобы удостовериться, что выражение внутри корня не вызывает дополнительных ограничений, решим сначала квадратное уравнение \( x^2 - 3x + 2 \):
\[ x^2 - 3x + 2 = 0 \]
Это уравнение можно разложить на множители:
\[ (x - 1)(x - 2) = 0 \]
Таким образом, корни уравнения будут \( x = 1 \) и \( x = 2 \).
Теперь определим, где выражение \( x^2 - 3x + 2 \) не отрицательно:
- Подставим тестовые значения в промежутки, определенные корнями. Мы имеем три промежутка: \( (-\infty, 1) \), \( (1, 2) \) и \( (2, +\infty) \).
Если \( x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \[ 0^2 - 3 \cdot 0 + 2 = 2 \quad (\text{положительно}) \]
Если \( 1 < x < 2 \) (например, \( x = 1.5 \)): \[ (1.5)^2 - 3 \cdot 1.5 + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25 \quad (\text{отрицательно}) \]
Если \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \[ 3^2 - 3 \cdot 3 + 2 = 9 - 9 + 2 = 2 \quad (\text{положительно}) \]
Таким образом, функция \( x^2 - 3x + 2 \) не отрицательна на промежутках \( (-\infty, 1] \) и \( [2, +\infty) \).
Следовательно, исходное неравенство \( \sqrt{x^2 - 3x + 2} \geq -2 \) будет выполняться на интервале:
\[ (-\infty, 1] \cup [2, +\infty) \]
Этот ответ охватывает все возможные значения \( x \), для которых выполняется неравенство. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
