Найти производные У=(х+2)׳корень из х

Для нахождения производной функции \( Y = (x + 2) \cdot \sqrt[3]{x} \) нам нужно использовать правило произведения, а также правило дифференцирования корня.

1. Сначала запишем данную функцию в более удобной форме, где \(\sqrt[3]{x} = x^{1/3}\). Тогда: \[ Y = (x + 2) \cdot x^{1/3} \]

2. Теперь применим правило произведения. Если \( u = x + 2 \) и \( v = x^{1/3} \), тогда производная произведения \( Y' = u'v + uv' \).

3. Найдем производные \( u' \) и \( v' \):

   • \( u' = 1 \) (производная от \( x + 2 \) равна 1)
   • \( v' = \frac{1}{3} x^{-2/3} \) (производная от \( x^{1/3} \) равна \(\frac{1}{3} x^{-2/3}\))

4. Теперь подставим \( u \), \( u' \), \( v \) и \( v' \) в формулу: \[ Y' = (1) \cdot \left(x^{1/3}\right) + (x + 2) \cdot \left(\frac{1}{3} x^{-2/3}\right) \]

5. Упростим выражение: \[ Y' = x^{1/3} + \frac{(x + 2)}{3x^{2/3}} \]

6. Объединим дроби: \[ Y' = x^{1/3} + \frac{x}{3x^{2/3}} + \frac{2}{3x^{2/3}} \] Заметим, что \(\frac{x}{3x^{2/3}} = \frac{1}{3} x^{1/3}\): \[ Y' = x^{1/3} + \frac{1}{3} x^{1/3} + \frac{2}{3x^{2/3}} \]

7. Сложим дроби с одинаковыми основаниями: \[ Y' = \frac{4}{3} x^{1/3} + \frac{2}{3x^{2/3}} \]

Таким образом, производная функции \( Y = (x + 2) \cdot \sqrt[3]{x} \) равна: \[ Y' = \frac{4}{3} x^{1/3} + \frac{2}{3x^{2/3}} \]

Если есть какие-либо вопросы по шагам или другим темам, не стесняйтесь спрашивать!