На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки и N соответственно. Известно, что AM:AB=3:7 и AN:AC=3:5. Найдите площадь треугольника, ABC, если площадь треугольника AMN равна 18

Чтобы найти площадь треугольника ABC, когда известна площадь треугольника AMN и даны отношения AM:AB и AN:AC, можно воспользоваться свойством подобия треугольников.

1. Дано:

   • Площадь треугольника AMN = 18.
   • AM:AB = 3:7, что означает, что AM составляет \( \frac{3}{7} \) от AB.
   • AN:AC = 3:5, что означает, что AN составляет \( \frac{3}{5} \) от AC.

2. Площадь треугольника AMN можно выразить через площадь треугольника ABC, используя коэффициенты, которые получаются из пропорций. Площадь треугольника AMN будет составлять часть площади треугольника ABC, определяемую произведением отношений: \[ \text{Площадь } AMN = \text{Площадь } ABC \cdot \frac{AM}{AB} \cdot \frac{AN}{AC} \]

3. Подставим известные отношения: \[ \text{Площадь } AMN = \text{Площадь } ABC \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{3}{5} \]

4. Упростим это выражение: \[ \frac{3}{7} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{35} \]

5. Заменим площадь AMN на 18: \[ 18 = \text{Площадь } ABC \cdot \frac{9}{35} \]

6. Теперь найдем площадь треугольника ABC: \[ \text{Площадь } ABC = 18 \cdot \frac{35}{9} \] \[ \text{Площадь } ABC = 70 \]

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 70 квадратным единицам.