14. В финале конкурса танцевальных пар «Выбери пар гнера» приняли участие в юношей и в девушек. Оказалось, что: аз у каждого ноги побывали партнервами в танцах по две девушки, а у…

Давайте разберёмся с задачей шаг за шагом.

Обозначим количество юношей как \( x \), а количество девушек как \( y \).

Из условия задачи известно, что:

• У каждого юноши по 2 девушки в партнёрах, следовательно, общее количество пар (юноша-девушка) равно \( 2x \).
• У каждой девушки по 3 юноши в партнёрах, значит, общее количество пар также можно выразить через девушек как \( 3y \).

Так как оба выражения описывают одно и то же количество пар, можем установить равенство:

\[ 2x = 3y \]

Теперь, если мы пытаемся найти, сколько девушек можно объединить в пары, используя стандартную формулу для количества пар:

Количество пар девушек из всех возможных:

\[ \frac{y(y-1)}{2} \]

Согласно условию, каждый юноша побывал партнёром у каждой пары девушек. Поскольку количество юношей \( x \) равно количеству пар девушек, можно написать:

\[ x = \frac{y(y-1)}{2} \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( 2x = 3y \)
2. \( x = \frac{y(y-1)}{2} \)

Подставим второе уравнение в первое:

\[ 2\left(\frac{y(y-1)}{2}\right) = 3y \]

Упрощаем:

\[ y(y-1) = 3y \]

\[ y^2 - y - 3y = 0 \]

\[ y^2 - 4y = 0 \]

Факторизуя, получаем:

\[ y(y-4) = 0 \]

Из этого уравнения мы можем получить два решения: \( y = 0\) или \( y = 4 \). Поскольку количество девушек не может быть нулевым, оставим только \( y = 4 \).

Теперь подставим значение \( y \) во второе уравнение, чтобы найти \( x \):

\[ x = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6 \]

Таким образом, количество юношей \( x = 6 \) и количество девушек \( y = 4 \).

Итак, итоговые результаты: в финале конкурса танцевальных пар участвовало 4 девушки и 6 юношей.