1. В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями ВС и AD проведены высоты ВМ и СМ. Площадь квадрата ВСМN равна 49 см, угол В равен 135°. Найдите площадь трапеции АВСD. 2. В…

1. Чтобы найти площадь равнобедренной трапеции ABCD, начнём с размышлений о фигурах, входящих в состав трапеции. У нас есть высота BM и CM, которые проведены к основаниям BC и AD соответственно. Площадь квадрата BCMN равна 49 см², следовательно, длина стороны квадрата равна \( \sqrt{49} = 7 \) см.

Угол B равен 135°, что говорит о том, что угол между высотой BM и основанием BC равен \( 180° - 135° = 45° \). Это означает, что высота BM делит отрезок BC на равные части, так как трапеция равнобедренная.

Теперь можно найти длины оснований. Поскольку BC является одной из сторон квадрата и его длина равна 7 см. Высоту BM можно найти как противолежащую сторону в треугольнике с углом 45°:

\[ BM = BC \cdot \sin(45°) = 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 4.95 \text{ см} \]

Теперь используем формулу для площади трапеции:

\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]

где \( a \) и \( b \) - длины оснований, а \( h \) - высота. Так как основания равнобедренной трапеции равны и длина BC = 7 см, предположим, что AD также равно 7 см.

Таким образом, подставляем значения в формулу:

\[ S = \frac{(7 + 7) \cdot 4.95}{2} = \frac{14 \cdot 4.95}{2} = 14 \cdot 2.475 = 34.65 \text{ см²} \]

Площадь трапеции ABCD составляет примерно 34.65 см².

2. В прямоугольнике со сторонами 13 см и 19 см биссектрису, проведённую к большей стороне, можно рассмотреть следующим образом.

Обозначим стороны прямоугольника как AB = 19 см и BC = 13 см. Биссектрису угла B, проведённую к стороне AC, будет разбивать прямоугольник на треугольник и трапецию.

Для нахождения площади треугольника, можно использовать формулу:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) \]

где \( a \) и \( b \) - это стороны, образующие угол \( C \). В данном случае угол B равен 90°, следовательно:

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 19 = \frac{247}{2} = 123.5 \text{ см²} \]

Теперь, чтобы найти площадь трапеции, нужно узнать, какая часть пойдёт на нее. Площадь всего прямоугольника:

\[ S_{\text{прямоугольника}} = 13 \cdot 19 = 247 \text{ см²} \]

Площадь трапеции:

\[ S_{\text{трапец}} = S_{\text{прямоугольника}} - S_{\text{треугольника}} = 247 - 123.5 = 123.5 \text{ см²} \]

Таким образом:

а) Площадь треугольника составляет 123.5 см².

б) Площадь трапеции также составляет 123.5 см².