Острый угол B B прямоугольного треугольника A B C ABC равен 6 7 ∘ . 67 ∘ . Найдите угол между высотой C H CH и биссектрисой C D , CD, проведенными из вершины прямого угла.
Чтобы найти угол между высотой \( CH \) и биссектрисой \( CD \), проведенными из вершины прямого угла \( C \) прямоугольного треугольника \( ABC \), нам нужно воспользоваться некоторыми свойствами треугольников и углами.
- В треугольнике \( ABC \) угол \( A = 67^\circ \) и угол \( B \) равен \( 90^\circ \). Таким образом, угол \( C \) можно найти по теореме о сумме углов треугольника:
\[ C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 67^\circ - 90^\circ = 23^\circ. \]
Высота \( CH \) из вершины \( C \) перпендикулярна основанию \( AB \), следовательно, угол \( ACB \) равен \( 23^\circ \).
Биссектрисы углов треугольника делят углы пополам. Следовательно, биссектрисы угла \( C \) делят его на два равных угла по \( 11.5^\circ \):
\[ \angle DCA = \angle DCB = \frac{C}{2} = \frac{23^\circ}{2} = 11.5^\circ. \]
Теперь мы можем найти угол между высотой \( CH \) и биссектрисой \( CD \). Высота \( CH \) образует угол \( 90^\circ \) с основанием \( AB \), а биссектрисе \( CD \) образует угол \( DCA = 11.5^\circ \).
Таким образом, угол между высотой \( CH \) и биссектрисой \( CD \) будет равен:
\[ \angle HCD = 90^\circ - 11.5^\circ = 78.5^\circ. \]
Итак, угол между высотой \( CH \) и биссектрисой \( CD \) равен \( 78.5^\circ \).
