Сформулировать и доказать равенство треугольников по 3 признаку.

Равенство треугольников по третьему признаку основывается на равенстве двух сторон и угла, который между ними. Формулировка признака звучит так:

Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу (2С+У): Если в двух треугольниках равны две стороны и угол, заключённый между ними, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны два треугольника \( ABC \) и \( A'B'C' \), для которых выполнены условия:

1. \( AB = A'B' \) (первая сторона равна)
2. \( AC = A'C' \) (вторая сторона равна)
3. \( \angle CAB = \angle C'A'B' \) (угол между этими сторонами равен)

Теперь нужно доказать, что треугольники \( ABC \) и \( A'B'C' \) равны, т.е. \( \triangle ABC \cong \triangle A'B'C' \).

Шаги доказательства:

1. Построим треугольник \( A'B'C' \):

   • Начнем с точки \( A' \).
   • Проведем отрезок \( A'B' \) длиной \( AB \).
   • От точки \( A' \) проведем отрезок \( A'C' \) длиной \( AC \) под углом \( \angle C'A'B' = \angle CAB \).

2. Проверим, пересекутся ли отрезки:

   • В результате построения, если на той же плоскости отрезки \( A'B' \) и \( A'C' \) пересекутся, то мы получим точку \( C' \), которая будет равна \( C \).

3. В итоге:

   • Таким образом, мы можем утверждать, что все соответствующие стороны и углы треугольников равны:
     • \( AB = A'B' \)
     • \( AC = A'C' \)
     • \( \angle CAB = \angle C'A'B' \)

Следовательно, по признаку равенства, \( \triangle ABC \cong \triangle A'B'C' \).

Таким образом, мы доказали признак равенства треугольников: если в двух треугольниках равны две стороны и угол между ними, то эти треугольники равны.