Одна сторона треугольника на 2 см больше другой, а угол между ними равен 120°. Найдите периметр тре- угольника, если его третья сторона равна 7 см.
Давайте разберем задачу по шагам.
Обозначим одну сторону треугольника как \( a \), а другую сторону, которая на 2 см больше, как \( b \). Тогда можем записать:
\[ b = a + 2 \]
Согласно условию задачи, угол между этими сторонами равен 120°. Также известно, что третья сторона треугольника \( c = 7 \) см.
По теореме косинусов для треугольника, мы можем записать следующее уравнение:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(120^\circ) \]
Зная, что \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \), уравнение становится:
\[ 7^2 = a^2 + (a + 2)^2 - 2ab \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \]
Теперь подставим \( b \):
\[ 49 = a^2 + (a + 2)^2 + ab \]
Раскроем скобки:
\[ 49 = a^2 + (a^2 + 4a + 4) + a(a + 2) \]
Теперь упрощаем:
\[ 49 = a^2 + a^2 + 4a + 4 + a^2 + 2a \] \[ 49 = 3a^2 + 6a + 4 \]
Переносим всё в одну сторону:
\[ 3a^2 + 6a + 4 - 49 = 0 \] \[ 3a^2 + 6a - 45 = 0 \]
Теперь упростим это уравнение, деля каждое значение на 3:
\[ a^2 + 2a - 15 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение, используя формулу корней:
\[ a = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \]
Где \( a = 1, b = 2, c = -15 \):
\[ a = \frac{{-2 \pm \sqrt{{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}}}{2 \cdot 1} \] \[ a = \frac{{-2 \pm \sqrt{{4 + 60}}}}{2} \] \[ a = \frac{{-2 \pm \sqrt{64}}}{2} \] \[ a = \frac{{-2 \pm 8}}{2} \]
Находим два корня:
- \( a_1 = \frac{6}{2} = 3 \)
- \( a_2 = \frac{-10}{2} = -5 \) (не подходит, т.к. сторона не может быть отрицательной)
Таким образом, \( a = 3 \) см. Теперь найдем \( b \):
\[ b = a + 2 = 3 + 2 = 5 \text{ см} \]
Теперь у нас есть все стороны треугольника:
- \( a = 3 \) см,
- \( b = 5 \) см,
- \( c = 7 \) см.
Периметр треугольника \( P \) равен сумме всех сторон:
\[ P = a + b + c = 3 + 5 + 7 = 15 \text{ см} \]
Таким образом, периметр треугольника равен 15 см.
