Одна сторона треугольника на 2 см больше другой, а угол между ними равен 120°. Найдите периметр тре- угольника, если его третья сторона равна 7 см.

Чтобы найти периметр треугольника, начнем с того, что обозначим стороны треугольника.

Пусть одна сторона треугольника \( a \) равна \( x \) см, тогда другая сторона \( b \) будет равна \( x + 2 \) см. Третья сторона \( c \) равна 7 см, и угол между сторонами \( a \) и \( b \) равен 120°.

Теперь мы можем использовать закон косинусов для нахождения длины одной из сторон:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) \]

где \( \gamma = 120^\circ \) и \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \).

Подставим известные значения:

\[ 7^2 = x^2 + (x + 2)^2 - 2 \cdot x \cdot (x + 2) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \]

Упростим уравнение:

\[ 49 = x^2 + (x^2 + 4x + 4) + x(x + 2) \] \[ 49 = x^2 + x^2 + 4x + 4 + x^2 + 2x \] \[ 49 = 3x^2 + 6x + 4 \]

Теперь перенесем все в одну сторону:

\[ 3x^2 + 6x + 4 - 49 = 0 \] \[ 3x^2 + 6x - 45 = 0 \]

Разделим все на 3:

\[ x^2 + 2x - 15 = 0 \]

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \]

Корни находятся по формуле:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 8}{2} \]

Это дает два решения:

\[ x_1 = \frac{6}{2} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-10}{2} = -5 \]

Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, принимаем \( x = 3 \) см. Тогда:

\[ a = 3 \text{ см}, \quad b = 3 + 2 = 5 \text{ см}, \quad c = 7 \text{ см} \]

Теперь найдем периметр треугольника:

\[ P = a + b + c = 3 + 5 + 7 = 15 \text{ см} \]

Таким образом, периметр треугольника равен 15 см.