Площадь боковой грани правильной треугольной пирамиды ЅАВС равна 42 дм², а периметр основания 18 дм. Найдите апофему SN пирамиды и площадь полной поверхности
Чтобы решить задачу, давайте воспользуемся данными, которые у нас есть:
- Площадь боковой грани правильной треугольной пирамиды \( SABC \) равна 42 дм².
- Периметр основания равен 18 дм.
Шаг 1: Найдем сторону основания
Так как основание пирамиды является равносторонним треугольником, обозначим сторону треугольника как \( a \).
Периметр равностороннего треугольника вычисляется по формуле:
\[ P = 3a \]
Отсюда получаем:
\[ 18 = 3a \quad \Rightarrow \quad a = \frac{18}{3} = 6 \text{ дм} \]
Шаг 2: Найдем высоту боковой грани
Площадь боковой грани — это площадь треугольника \( SNA \), где \( S \) — это вершина пирамиды, а \( A \) — одна из вершин основания.
Площадь треугольника можно найти по формуле:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \]
где \( h \) — высота боковой грани (или высота треугольника \( SNA \)).
Известно, что площадь треугольника равна 42 дм², следовательно:
\[ 42 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h \quad \Rightarrow \quad 42 = 3h \quad \Rightarrow \quad h = \frac{42}{3} = 14 \text{ дм} \]
Шаг 3: Найдем апофему SN
Теперь, чтобы найти апофему \( SN \) пирамиды, необходимо использовать теорему Пифагора в треугольнике \( SNA \). Высота \( h \) треугольника \( SNA \) установлена, и мы знаем, что половина стороны основания \( a \) равна \( \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) дм.
Запишем уравнение по теореме Пифагора:
\[ SN^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]
Подставим известные значения:
\[ SN^2 = 14^2 + 3^2 = 196 + 9 = 205 \quad \Rightarrow \quad SN = \sqrt{205} \approx 14.32 \text{ дм} \]
Шаг 4: Найдем площадь полной поверхности
Площадь полной поверхности состоит из площади основания и площади боковых граней.
Площадь основания (равностороннего треугольника) можно вычислить по формуле:
\[ S_{основания} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]
Подставляем значение \( a = 6 \) дм:
\[ S_{основания} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9\sqrt{3} \text{ дм²} \]
Теперь найдем площадь всех боковых граней. В случае правильной треугольной пирамиды три боковые грани:
\[ S_{бок. граней} = 3 \cdot 42 = 126 \text{ дм²} \]
Теперь находим полную площадь поверхности:
\[ S_{полная} = S_{основания} + S_{бок. граней} = 9\sqrt{3} + 126 \text{ дм²} \]
Ответ
Апофема \( SN \) = \( \sqrt{205} \approx 14.32 \) дм, а площадь полной поверхности пирамиды:
\[ S_{полная} = 9\sqrt{3} + 126 \text{ дм²} \]
Если нужны дополнительные пояснения или помощь, не стесняйтесь задавать вопросы!
