В треугольнике A B C дано: A B = 31 , 32 ⋅ √ 2 , ∠ B = 30 0 , ∠ C = 45 0 . Найдите сторону A C .

Question 1

Задача Задача №2546274

А

Аноним

19 декабря 2024 18:29 · публичный вопрос

А

Аноним 19 декабря 2024 18:29

В треугольнике A B C дано: A B = 31 , 32 ⋅ √ 2 , ∠ B = 30 0 , ∠ C = 45 0 . Найдите сторону A C .

Answer

Для нахождения стороны \( AC \) в треугольнике \( ABC \) воспользуемся теоремой синусов.

В треугольнике \( ABC \) известны:

\( AB = 31.32 \cdot \sqrt{2} \)
\( \angle B = 30^\circ \)
\( \angle C = 45^\circ \)

Сначала найдем угол \( A \) с помощью суммы углов треугольника: \[ \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ. \]

Теперь можем применить теорему синусов, которая гласит, что отношение стороны к синусу противолежащего угла в любом треугольнике равно постоянной величине: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}, \] где:

\( a = BC \)
\( b = AC \)
\( c = AB \)

В нашем случае, \[ c = AB = 31.32 \cdot \sqrt{2}, \quad \angle B = 30^\circ, \quad \angle C = 45^\circ, \quad \angle A = 105^\circ. \]

Сначала найдем \( \sin B \) и \( \sin C \): \[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 105^\circ = \sin(90^\circ + 15^\circ) = \sin 90^\circ \cos 15^\circ + \cos 90^\circ \sin 15^\circ = \cos 15^\circ. \] Таким образом, \( \cos 15^\circ \) можно найти по формуле: \[ \cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}. \]

Теперь подставим значения в уравнение теоремы синусов: \[ \frac{AC}{\sin 45^\circ} = \frac{AB}{\sin 30^\circ}. \] Отсюда: \[ AC = AB \cdot \frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = 31.32 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}. \]

Упрощая, получаем: \[ AC = 31.32 \cdot \sqrt{2} \cdot 2 = 62.64 \cdot \sqrt{2}. \]

Таким образом, сторона \( AC \) в треугольнике \( ABC \) равна: \[ AC = 62.64 \cdot \sqrt{2}. \]

Question 2

В треугольнике A B C дано: A B = 31 , 32 ⋅ √ 2 , ∠ B = 30 0 , ∠ C = 45 0 . Найдите сторону A C .

Answer

Для нахождения стороны \( AC \) в треугольнике \( ABC \) воспользуемся теоремой синусов. В треугольнике \( ABC \) известны: - \( AB = 31.32 \cdot \sqrt{2} \) - \( \angle B = 30^\circ \) - \( \angle C = 45^\circ \) Сначала найдем угол \( A \) с помощью суммы углов треугольника: \[ \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ. \] Теперь можем применить теорему синусов, которая гласит, что отношение стороны к синусу противолежащего угла в любом треугольнике равно постоянной величине: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}, \] где: - \( a = BC \) - \( b = AC \) - \( c = AB \) В нашем случае, \[ c = AB = 31.32 \cdot \sqrt{2}, \quad \angle B = 30^\circ, \quad \angle C = 45^\circ, \quad \angle A = 105^\circ. \] Сначала найдем \( \sin B \) и \( \sin C \): \[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 105^\circ = \sin(90^\circ + 15^\circ) = \sin 90^\circ \cos 15^\circ + \cos 90^\circ \sin 15^\circ = \cos 15^\circ. \] Таким образом, \( \cos 15^\circ \) можно найти по формуле: \[ \cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}. \] Теперь подставим значения в уравнение теоремы синусов: \[ \frac{AC}{\sin 45^\circ} = \frac{AB}{\sin 30^\circ}. \] Отсюда: \[ AC = AB \cdot \frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = 31.32 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}. \] Упрощая, получаем: \[ AC = 31.32 \cdot \sqrt{2} \cdot 2 = 62.64 \cdot \sqrt{2}. \] Таким образом, сторона \( AC \) в треугольнике \( ABC \) равна: \[ AC = 62.64 \cdot \sqrt{2}. \]