Найди точку минимума функции f(x)=x³-3x+12

Чтобы найти точку минимума функции \( f(x) = x^3 - 3x + 12 \), сначала необходимо вычислить ее производную и найти критические точки.

1. Найдем производную функции:

\[ f'(x) = 3x^2 - 3 \]

2. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

\[ 3x^2 - 3 = 0 \]

3. Решим уравнение:

\[ 3x^2 = 3 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \]

Теперь у нас есть две критические точки: \( x = 1 \) и \( x = -1 \).

4. Для определения, является ли каждая из них точкой минимума или максимума, можем использовать второй производный тест. Сначала найдем вторую производную:

\[ f''(x) = 6x \]

Теперь подставим критические точки в \( f''(x) \):

• Для \( x = 1 \):

\[ f''(1) = 6 \cdot 1 = 6 > 0 \]

Это указывает на то, что в точке \( x = 1 \) находится минимум.

• Для \( x = -1 \):

\[ f''(-1) = 6 \cdot (-1) = -6 < 0 \]

Это указывает на то, что в точке \( x = -1 \) находится максимум.

5. Теперь найдем значение функции в точке минимума \( x = 1 \):

\[ f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 12 = 1 - 3 + 12 = 10 \]

Таким образом, точка минимума функции \( f(x) \) находится в \( (1, 10) \).