В треугольнике A B C ABC угол C C прямой, A C = 3 , AC=3, B C = 4. BC=4. Найдите длину вектора C A → − B A → . CA − BA .

Для решения задачи используем свойства векторов и тригонометрию. У нас есть прямоугольный треугольник \( ABC \), где угол \( C \) прямой, \( AC = 3 \), \( BC = 4 \). Нам нужно найти длину вектора \( \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{BA} \).

Сначала найдем длину стороны \( AB \) по теореме Пифагора:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] \[ AB^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \] \[ AB = \sqrt{25} = 5 \]

Теперь найдем векторы \( \overrightarrow{CA} \) и \( \overrightarrow{BA} \). Примем точку \( C \) за начало координат \( (0, 0) \). Тогда:

• \( A(3, 0) \) (3 единицы по оси \( x \))
• \( B(0, 4) \) (4 единицы по оси \( y \))

Векторы:

\[ \overrightarrow{CA} = A - C = (3, 0) - (0, 0) = (3, 0) \] \[ \overrightarrow{BA} = A - B = (3, 0) - (0, 4) = (3, 0) - (0, 4) = (3, -4) \]

Теперь находим \( \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{BA} \):

\[ \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{BA} = (3, 0) - (3, -4) = (3 - 3, 0 - (-4)) = (0, 4) \]

Теперь найдем длину вектора \( \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{BA} \):

\[ |\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{BA}| = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4 \]

Таким образом, длина вектора \( \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{BA} \) равна 4.