Найди вероятность, что Пётр, стреляя из арбалета, попадёт в мишень на восьмом выстреле из десяти попыток, если вероятность попадания при одном выстреле равна 8/10
Для решения данной задачи можно использовать биномиальное распределение вероятностей.
Пусть \( p = \frac{8}{10} = 0.8 \) – вероятность попадания в мишень при одном выстреле. Тогда вероятность промаха \( q = 1 - p = 0.2 \).
Мы ищем вероятность того, что Пётр попадёт в мишень именно на восьмом выстреле, а до этого он должен сделать 7 (или менее) попаданий из первых 7 выстрелов.
Обозначим количество попаданий за \( k \). Нам необходимо, чтобы:
- На первых 7 выстрелах Пётр попал ровно \( k \) раз, где \( k \) может принимать значения от 0 до 7.
- На восьмом выстреле Пётр попал в мишень.
Вероятность того, что Пётр попал \( k \) раз в первых 7 выстрелов можно описать следующим образом:
\[ P(k, 7) = C(7, k) p^k q^{7-k} \]
где \( C(7, k) \) – биномиальный коэффициент (число способов выбрать \( k \) успехов из 7 испытаний).
Чтобы получить общую вероятность попадания именно на восьмом выстреле, мы рассматриваем произведение двух вероятностей:
- Вероятность, что Пётр попал ровно \( k \) раз в первые 7 выстрелов.
- Вероятность, что на восьмом выстреле он попал: \( p = 0.8 \).
Таким образом, общая вероятность будет выглядеть следующим образом:
\[ P = \sum_{k=0}^{7} P(k, 7) \cdot p = \sum_{k=0}^{7} C(7, k) \left(0.8\right)^k \left(0.2\right)^{7-k} \cdot 0.8 \]
Мы можем вынести \( 0.8 \) за знак суммы:
\[ P = 0.8 \sum_{k=0}^{7} C(7, k) (0.8)^k (0.2)^{7-k} \]
Согласно теореме бинарного распределения, сумма вероятностей всех возможных исходов (от 0 до 7 попаданий в 7 выстрелов) равняется 1:
\[ \sum_{k=0}^{7} C(7, k) (0.8)^k (0.2)^{7-k} = (0.8 + 0.2)^7 = 1^7 = 1 \]
Следовательно,
\[ P = 0.8 \cdot 1 = 0.8 \]
Таким образом, вероятность того, что Пётр попадёт в мишень на восьмом выстреле, равна 0.8 или 80%.
