14. В финале конкурса танцевальных пар «Выбери пар гнера» приняли участие в юношей и в девушек. Оказалось, что: аз у каждого ноги побывали партнервами в танцах по две девушки, а у…

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим количество юношей как \( x \) и количество девушек как \( y \).

Из условий задачи известно, что:

1. Каждая девушка танцевала с 3 юношами.
2. Каждый юноша танцевал с 2 девушками.

Теперь давайте проанализируем информацию.

Общее количество пар (юноша и девушка) можно выразить по двум способам:

• Сначала из юношей: каждый юноша танцевал с 2 девушками, следовательно общее количество пар будет \( 2x \).
• Теперь из девушек: каждая девушка танцевала с 3 юношами, значит общее количество пар также равно \( 3y \).

Приравняем выражения: \[ 2x = 3y. \]

Теперь, если из всех девушек образовать все возможные пары, количество пар \( C(y, 2) \) (комбинации из \( y \) по 2) можно выразить как: \[ \frac{y(y - 1)}{2}. \]

Согласно условию задачи, каждый юноша танцевал с двумя девушками, но количество девушек, с которыми он мог танцевать, зависит от количества таких пар. Учитывая, что каждый юноша одновременно танцевовал с разными девушками, у нас есть равенство, что каждый юноша побывал с одной из девушек в каждой из пар.

Теперь мы имеем систему уравнений:

1. \( 2x = 3y \)
2. Применив информацию о парах, можно заметить, что количество пар, создаваемых юношами и девушками, должно равняться количеству пар, создаваемых только девушками.

Из первого уравнения можем выразить \( x \): \[ x = \frac{3y}{2}. \]

Теперь подставьте это значение во второе уравнение и найдите \( y \), а затем \( x \).

Чтобы сделать это проще, давайте предположим, что количество девушек \( y \) делится на 2. Пусть \( y = 4 \). Тогда:

\[ x = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6. \]

Таким образом, мы получаем, что:

• Количество девушек: \( 4 \)
• Количество юношей: \( 6 \)

Таким образом, в финале конкурса танцевальных пар «Выбери пар гнера» участвовало 6 юношей и 4 девушки.